Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Zufallsexperimenten und der Quantifizierung von Unsicherheit befasst. Sie bietet einen theoretischen Rahmen für die Analyse von Wahrscheinlichkeiten und deren Eigenschaften. Die Grundidee besteht darin, mathematische Modelle zu entwickeln, um zufällige Phänomene zu beschreiben und Vorhersagen über deren Wahrscheinlichkeiten zu treffen.
Konzepte:
- Zufallsexperimente:
- Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem das Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Beispiele für Zufallsexperimente sind das Werfen eines Würfels, das Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel oder das Messen von radioaktiven Zerfällen.
- Ereignisse:
- Ein Ereignis ist eine Menge von möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Es kann aus einem oder mehreren Elementarereignissen bestehen.
- Wahrscheinlichkeitsraum:
- Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein mathematischer Raum, der das Zufallsexperiment, den Ergebnisraum (alle möglichen Ergebnisse) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst.
- Wahrscheinlichkeitsverteilung:
- Die Wahrscheinlichkeitsverteilung weist jedem möglichen Ereignis oder Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zu. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen bestimmten Regeln genügen, insbesondere dass die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse gleich 1 ist.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit:
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist, wird als P(A | B) ausgedrückt.
- Unabhängigkeit:
- Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten von A keine Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit von B hat (und umgekehrt).
- Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit:
- Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Integration über alle möglichen Bedingungen.
- Satz von Bayes:
- Der Satz von Bayes ermöglicht die Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten basierend auf neuen Informationen. Er spielt eine wichtige Rolle in der Statistik und im maschinellen Lernen.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie findet breite Anwendung in verschiedenen Bereichen, einschließlich Statistik, Finanzwesen, Ingenieurwissenschaften, Informatik, Medizin und vielen anderen. Sie bildet die Grundlage für statistische Inferenz und Entscheidungstheorie, die es ermöglichen, fundierte Schlussfolgerungen aus begrenzten oder unvollständigen Daten zu ziehen.
Skripte Wahrscheinlichkeitstheorie
Tutorien Wahrscheinlichkeitstheorie
Tutorium Wahrscheinlichkeiten
Tutorium Häufigkeit versus Wahrscheinlichkeit
Tutorium Zufallsgrößen
Tutorium Verteilungen
Tutorium Datenerhebung‘
Tutorium Stem-and.leaf plot
Übungen Wahrscheinlichkeitstheorie
- Wahrscheinlichkeitstheorie
- Datendarstellung
- Mehrdimensionale Analysen
- Schätzen und Testen