Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Studium von zufälligen Prozessen und Phänomenen befasst. Der Begriff „Stochastik“ stammt aus dem Griechischen und bedeutet „Zufall“ oder „Zufälligkeit“. Dieser mathematische Bereich umfasst verschiedene Aspekte, darunter Wahrscheinlichkeitstheorie, statistische Methoden und stochastische Prozesse.

Konzepte

1. Zufallsvariable:
   • Eine Zufallsvariable ist eine mathematische Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reale Zahl zuordnet. Sie wird oft mit einem Buchstaben wie X oder Y bezeichnet.
2. Wahrscheinlichkeitsverteilung:
   • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen gibt an, wie wahrscheinlich verschiedene Werte dieser Variable sind. Sie kann durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen oder kumulative Verteilungsfunktionen dargestellt werden.
3. Stochastische Unabhängigkeit:
   • Zwei Ereignisse oder Zufallsvariablen sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat.
4. Erwartungswert und Varianz:
   • Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der gewichtete Durchschnitt ihrer möglichen Werte, wobei die Wahrscheinlichkeiten als Gewichtungen dienen. Die Varianz misst die Streuung der Werte um den Erwartungswert.
5. Stochastische Prozesse:
   • Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen, die über einen Index (z.B. die Zeit) indiziert ist. Beispiele hierfür sind die Brown’sche Bewegung in der Finanzmathematik oder stochastische Differentialgleichungen.
6. Statistik:
   • In der Stochastik werden statistische Methoden verwendet, um Informationen aus Daten zu extrahieren, Unsicherheiten zu quantifizieren und Schlussfolgerungen über unbekannte Parameter zu ziehen.
7. Simulation und Monte-Carlo-Methoden:
   • Stochastische Modelle können mithilfe von Simulationen und Monte-Carlo-Methoden analysiert werden, um numerische Näherungen für komplexe Probleme zu erhalten.
8. Anwendungen in verschiedenen Bereichen:
   • Die Stochastik findet breite Anwendung in verschiedenen Disziplinen wie Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Physik, Biologie, Ingenieurwissenschaften, Informatik, Operationsforschung und mehr.

Sie spielt eine entscheidende Rolle bei der Modellierung und Analyse von Unsicherheit und Zufälligkeit in realen Situationen. Ihre Anwendungen reichen von der Vorhersage von Finanzmärkten bis zur Analyse von genetischen Variationen in der Biologie.

Skripte Stochastik

• Skript Stochastik
• Skript Stochastik für Informatiker

Übungen Stochastik

• Klausur Stochastik
• Statistik Abitur Stadtteilschule Niendorf
• Übung Stochastik Universität Bremen
• Einführung in die Stochastik Universität Köln
• Probeklausur Einführung in die Stochastik inkl. Lösungen  Universität Köln
• Probeklausur Einführung in die Stochastik Universität Köln
  • Lösungen zu dieser Stochastik Klausur
• Probeklausur Einführung in die Stochastik Teil 2 Universität Köln
  • Lösungen
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Formelsammlungen Stochastik

• Formelsammlung Stochastik

Übung Integration einer Dichtefunktion

1. f(x) = -X^2 + 0.83; Intervall von -0.5 bis 0.5; Wieviel Prozent der Probanden befinden sich in dem Intervall?
   Integral: F(x) = -1/3*X^3 + 0.83X
2. f(x) = 0.62*1/X; Intervall von c bis 5; In welchem Intervall liegen die oberen 30% der Probanden?
   Integral: F(x) = ln(x)*0.62